Systèmes de Liénard et décomposition potentielle-Hamiltonienne I - Méthodologie Liénard systems and potential-Hamiltonian decomposition I - Methodology

Following the Hodge decomposition of regular vector fields we can decompose the second member of any Liénard system into 2 (non unique) polynomials, first corresponding to potential and second to Hamiltonian dynamics. This polynomial Hodge decomposition is called potential-Hamiltonian, denoted PH-decomposition, and we give it for any polynomial differential system of dimension 2. We will give in a further Note an algorithm expliciting the PH-decomposition in the neighborhood of particular orbits like a limit-cycle for Liénard systems, the method being applicable for any polynomial differential system of dimension 2. Résumé Un système de Liénard est un système différentiel du second ordre, défini sur R, du type : dx/dt = y , dy/dt = −g(x)+yf (x) où g et f sont des polynômes. Un tel système est susceptible dêtre décomposé, de manière non unique, en 2 parties polynomiales, l’une potentielle et l’autre hamiltonienne, c’est-à-dire qu’il existe deux polynômes P et H, définis sur R à valeurs dans R , vérifiant dx/dt = −∂P/∂x + ∂H/∂y , dy/dt = −∂P/∂y − ∂H/∂x. On montre, en utilisant la décomposition de Hodge des champs de vecteurs réguliers, que le second membre d’un tel système est décomposable en 2 polynômes, l’un correspondant à une dynamique de gradient et l’autre à une dynamique hamiltonienne. Cette décomposition de Hodge polynomiale est appelée potentielle-hamiltonienne, notée PH-décomposition, et nous en donnons la formule pour tout système différentiel polynomial du plan. Nous donnerons, dans une Note ultérieure, un algorithme permettant d’obtenir une formule explicite de la PH-décomposition au voisinage d’orbites particulières, telles qu’un cycle limite dans le cas des systèmes de Liénard, la méthode étant applicable à tout système différentiel polynomial du plan.